شرح الفصل السادس ...............منطق

Admin عدد الرسائل : 681 تاريخ التسجيل : 03/08/2008

الاستدلال الرياضى

* أهم العيوب التى لاحظها المفكرون على المنطق القديم :
1) أنه منطق عقيم مجدب لا يؤدى إلى زيادة المعرفة , ولا يقود إلى تقدم العلم .
 حيث أن القياس الأرسطى " وهو جوهر المنطق القديم " يبدأ من مقدمات مسلم بها ليصل إلى نتيجة ليس فيها من جديد أكثر مما كان موجودا فى المقدمات .
2) يتطوى القياس الأرسطى على دور فى التفكير .
 أى أنه يدور بالتفكير فى دائرة لا تخرج عنها ... فمثلا إذا قلنا :
كل إنسان فان
سقراط إنسان
سقراط فان

 فإننا لكى نسلم بأن " كل إنسان فان " فلابد أن نسلم فى البداية بأن سقراط وهو أحد أفراد الإنسان فان فالنتيجة تؤدى إلى المقدمات والمقدمات تؤدى إلى النتيجة وهكذا يدور التفكير فى دائرة لا يخرج منها
3) ينطوى القياس على مصادره على مطلوب .
 أى أن ما نريد أن نبرهن عليه نجعله مصادره لا يبرهن عليها .
** مثال : فلنبرهن على صحة القضية " سقراط فان " جعلنا القضية " كل إنسان فان " قضية مسلم بها أى مصادره لا يبرهن عليها وهذه المصادره تنطوى على النتيجة المراد البرهنة عليها .
4) أصبح واضحا للمفكرين أن المنطق القديم لم يعد بعد التطورات العلمية كافيا .
لأنه يكون هو المنهج الوحيد , وأنه لم يعد صالحا لتحقيق الأغراض العلمية الجديدة .

بيكون وديكارت والروح العلمية الحديثة :

 أنه فى أواخر القرن السادس عشر وأوائل القرن السابع عشر هاجم المفكرين منطق أرسطو , وطالبوا بضرورة التخلص منه , وإيجاد مناهج جديدة تحقق خير للإنسان ورفاهيته , وكان " فرانسيس بيكون " الإنجليزى و " رينيه ديكارت " الفرنسى من أهم رواد الثروة على المنطق الأرسطى حيث إتفقا على ضرورة إيجاد طرق للبحث العلمى تتفادى عيوب هذا المنطق .

أ ) فرنسيس بيكون ( 1561 – 1626 ) :

 طور المهج الاستقرائى القائم على الملاحظة والتجربة حيث رأى أن العلم لا يتقدم إذا اقتصر على النظر العقلى لأن هدف العلم هو معلافة ظواهر الطبيعة للسيطرة عليها واستغلالها لصالح الإنسان ولا يمكن تحقيق هذا الهدف إلا عن طريق المنهج الإستقرائى .

ب) رينيه ديكــــارت (1596 – 1650 ) :

 طور المنهج الاستنباطى الرياضى الذى يتميز عن القياس بعنصر الإبتكار , كما يتميز أيضا بالتعميم الذى يتمثل فى الإنتقال من البسيط إلى المركب ومن الخاص إلى العام .
س) قارن بين القياس والإستدلال الرياضى " الاستنباط الرياضى ؟
وجه المقارنة القياس الأرسطى الاستدلال الرياضى
أوجه الشبه يتفقان فى أن كل منهما تلزم نتائجه عن مقدمات
أوجه الإختلاف 1) عقيم مجدب " غير منتج "
2) تأتى نتائجه أخص من المقدمات حيث الإنتقال من العام إلى الخاص . 1) منهج خصب ومنتج .
2) يتميز بالتعميم حيث الإنتقال من الخاص إلى العام
3) يتميز بعنصر الإبتكار.

* يلاحظ أن هذا المنهج الأستنباطى لم يكن من إختراع ديكارت لأن نواة هذا المنهج بدأت عند فلاسفة اليونان أمثال فيثاغورث وأرسطو وإقليدس .

* الرياضيات والتفكير الرياضى :

 لقد نالت الرايضيات إحترام المفكرين طوال التاريخ فهى ما تزال العلم اليقينى الذى يثق به الإنسان كما أنها اليوم اللغة الأساسية لكل العلوم المتقدمة فهى شرط أساسى للمعرفة الدقيقة كما لا يمكن الإستغناء عنها فى حياة الإنسان اليومية .
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~

أ ) تعريف الرياضيات :
الرياضيات : هى علم الكم " المقدار " المتصل والمنفصل . فموضوع الرياضيات هو الكم أو المقدار المجرد عن المادة " أى الكم العقلى " والكم نوعان :-
1) الكم المتصل : كالأسطح والأحجام ... كما فى الهندسة والميكانيكا .
2) الكم المنفصل : كالأعداد والرموز ... كما فى الحساب والجبر .
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~

ب) الرياضة البحتة والرياضة التطبيقية :
1) الرياضة البحتة : هى ذلك الفرع من الرياضيات الذى يهدف إلى استنباط النتائج من مقدمات معينة يضعها الرياضى وتقوم صحة النتائج على صحة استنباطها من المقدمات ولا شأن للرياضى البحت بتطبيق تلك النتائج على الواقع أو مدى صحتها بالنسبة لهذا الوضع .
2) الرياضة التطبيقية : هى ذلك الفرع من الرياضيات الذى يطبق فى الواقع الفعلى " فى الفيزياء – الكيمياء – وبقية العلوم " .
 الإستدلال الرياضى الذى نتحدث عنه هنا هو طريقة التفكير الرياضى فى الرياضة البحتة .
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~

جـ) الرياضيات نسق استنباطى :
 يقصد بالنسق الرياضى " الإستنباطى " البناء العقلى المتكامل المترابط الأجزاء الذى يتألف من عدة مقدمات " مجموعة من المفاهيم والقضايا " يضعها عالم الرياضيات ويسلم بصحتها , وينتقل منها إلى النتائج " النظريات أو المبرهنات المستنبطة والمبرهنة عليها من المقدمات " ومعنى هذا أن البناء الرياضى بناء يلعب فيه الاستنباط " الاستدلال الرياضى " الدرو الرئيسى , فهو الذى ينتقل بنا من المقدمات إلى النتائج ليكتمل البنائ لذلك وصفت الرياضيات بأنها نسق استنباطى .
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~

* بناء النسق الرياضى *
* لقد يتألف النسق الرياضى من جزئين :
أ ) المقدمات :
1 ) التعريفات 2) اللامعرفات 3) البديهيات 4) المسلمات ( المصادرات )
ب) النتائج ( النظريات ) :
اللازمة عن المقدمات ( النظريات )
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~

أ ) مقدمات النسق الرياضى :

1 ) التعريفات ( المعرفات ) :
أ ) هى مجموعة من المفاهيم يعرفها الرياضى بدقة ليستخدمها فى النسق الرياضى الخاص به .
ب) كل نسق رياضى له تعريفاته الخاصة به .
 ( فالهندسة الإقليدية " نسبة إلى إقليدس " مثلا تعالج النقط والخطوط والدوائر والمثلثات وكان تعريف هذه المفاهيم والتصورات الرياضية أمر هام بالنسبة لهذه الهندسة ) ومن أمثلة التعريفات التى قدمها إقليدس فى الهندسة .
النقطة : هى ما ليس له أجزاء .
الخط : هو طول بغير عرض .
السطح : هو ماله طول وعرض .

جـ) التعريفات التى يقدمها علم الرياضيات هى تعريفات إشتراطية لأن الرياضى يريدنا أن نفهم هذه الكلمة أو تلك بهذا المعنى المعين ,وليس لأحد أن يناقش الرياضى فى تعريفاته طالما يلتزم بها ولا يغيرها إلا إذا نبهنا إلى ذلك .
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~

2) اللامعرفات
أ ) هى مجموعة المفاهيم أو التصورات التى يأخذها الرياضى بدون تعريف وذلك ليستخدمها فى تعريف غيرها من المفاهيم . حيث حين يعرف الرياضى لفظ معين فإنه يعرفه بلفظ آخر وهكذا إلى ما لا نهاية فكان لابد أن يأخذ بعض المفاهيم دون تعريف حتى يمكن تعريف مفاهيم أخرى .
ب) من أمثلة اللامعرفات " جزء فى تعريف النقطة , والطول والعرض " فى تعريف الخط والسطح .
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~

3) البديهيات :
أ ) التعريف التقليدى للبديهية ب) التعريف الحيث للبديهية

البديهية : هى القضية الواضحة بذاتها والتى لا تحتاج إلى برهان ولا يملك العقل أمامها إلا التسليم بصحتها على الفور .
البديهية : بوجه عام هى قضية لا تنتمى إلى العلم الذى نتحدث عنه بل يستعيرها هذا العلم من علم آخر أعم منه ويتم ترتيب العلوم من حيث عموميتها كما يلى :
المنطق – الرياضيات – العلوم الطبيعية – العلوم الإنسانية .
فإذا أخذ علم أدنى قضية من علم أعلى منه فى سلم التعميم ليستخدمها فى مجال علمه كانت هذه القضية بالنسبة لهذا العلم الأدنى بديهية ولكل علم من هذه العلوم فروع فيها ما هو أعم وما هو أقل تعميما .

 ولقد استطاع التعريف الحديث للبديهية أن يحسم الخلاف الذى دار حول مفهوم الوضوح الذاتى الذى اعتمد عليه التعريف التقليدى حيث أنه مفهوم نسبى يختلف من فرد لآخر ومن زمان إلى زمان .
* ومن أمثلة البديهيات التى قدمها لنا إقليدس :
1 ) الكل أكبر من الجزء . 2) المسويان لشئ ثالث متساويان .
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~

4) المسلمات ( المصادرات ) :
 يقصد بالمسلمة ( المصادرة ) أنها قضية يسلم بها الرياضى تسليما دون برهان لا لأنها واضحة بذاتها بل لأنه أراد أن يتركها بلا برهان لكى يتخذها أساسا للبرهنة على غيرها من القضايا الأخرى وهى الالنظريات الرياضية فهو لا يملك إلا أن يتركها بلا برهان وإلا فشل فى البرهنة على أية قضية لأن البراهين سوف تتراجع إلى مالانهاية .
 ليس بالضرورة أن تكون المسلمة مطابقة للواقع فهى مجرد إفتراضات .
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~

* الشروط التى يجب مراعاتها عند وضع المسلمات :
1 ) يجب أن تكون مجموعة مسلمات النسق ( متسقة ) " غير متناقضة " فيما بينها حتى لا يؤدى ذلك إلى الوصول إلى نظريات متناقضة .
2) يجب أن تكون مجموعة المسلمات ( مكتملة ) أى كافية لكى نبرهن بواسطتها على جميع نظريات النسق .
3) يجب أن تكون مجموعة المسلمات ( مستقلة ) الواحدة منها عن الآخرى بمعنى ألا تكون أى مسلمة قابلة لأن تشتق من مجموعة المسلمات الأخرى لأنها ستكون فى هذه الحالة نظرية مبرهنة ويكون وجودها بين موجوعة المصادرات حشوا زائدا لا قيمة له .
 ومن أمثلة المصادرات التى قام عليها نسق إقليدس الخطان المستقيمان يتقاطعان فى نقطة واحدة فقط .

الفرق بين البديهية والمسلمة
من حيث البديهية المسلمة ( المصادرة )
أ ) من وجهة النظر التقليدية
قضية مسلم بها نظرا لوضوحها الذاتى .
قضية مسلم بها ليس لوضوحها الذاتى بل لمجرد أن تكون أساسا للبرهنة على غيرها من القضايا .
ب ) من وجهة النظر الحديثة
قضية لا تنتمى إلى العلم الذى ترد فيه بل إلى علم آخر أعم منه – استعارها العلم الأدنى لتساهم فى بناء النسق المراد بنائه .
تنتمى إلى نفس العلم الذى ترد فيه ولكنها تركت بلا برهان .
جـ) رأى فلاسفة العلم فى الوقت الحاضر
الرأى السائد الآن لا يفرق بين البديهية والمسلمة بإعتبار أن كلا منهما قضية مسلم بها دون برهان وليس لأاى منهما أى إمتياز على الأخرى فكلاهما قضايا تعمل داخل النسق دون أى تفرقة بينهما لذلك نجد معظم فلاسفة العلم لا يستخدم إسمين عند الحديث عن البديهية والمسلمة .
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~

ب) النظريات الرياضية " المبرهنات " :
1 ) يقصد بالنظريات الرياضية القضايا التى يستنتجها عالم الرياضيات من المقدمات وذلك وفق قواعد معينة هى قواعد الاستنباط .
2) يتوقف صحة النظرية على صحة المقدمات التى تم إفتراضها من قبل .
3) للبرهنة على صحة النظرية يقوم الرياضى بردها بطريقة مباشرة أو غير مباشرة إلى المقدمات الأولى التى سبق التسليم بها .
 ويقصد بالطريقة غير المباشرة هو أن الرياضى قد يبرهن على النظرية بردها إلى نظرية سبق البرهنة عليها , ثم برد النظرية الأخيرة إلى نظرية أخرى سابقة عليها ... وهكذا حتى ينتهى الأمر فى النهاية إلى المقدمات الأولى التى سلم بها .

أهم قواعد الاستنباط
إن من أهم القواعد التى يتم على أساسها البرهنة على النظريات هى :
1) قاعدة الإستدلال { إثبات المقدم } 2) قاعدة الوصل { التقرير }

مؤداها : أنه إذا أثبتنا صدق المقدم فى القضية الشرطية المتصلة أثبتنا صدق التالى الذى يمكن أخذه كنظرية مبرهنة .
مثال
لو كان لدينا القضية الشرطية ( إذا تساوى مثلثان فى زاويتين وضلع مشترك بينهما كان المثلثان متطابقين ) فإذا اثبتنا صدق المقدم وهو تساوى مثلثان فى زاويتين وضلع مشترك بينهما استطعنا أن نثبت صدق التالى وهو أن المثلثين متطابقان .
مؤداها : أنه تم البرهان على نظريتين بشكل مستقل , فإن جمع الإثنين معا يمكن أن يكون نظرية مستقلة ( أى أن وصل أى نظريتين صحيحتين معا يمكن أن يكون نظرية جديدة )
مثال
إذا كانت (س) نظرية أقيم البرهان عليها و (ص) نظرية أخرى أقيم البرهان عليها لكان ( س, ص) معا نظرية مستقلة .

 ولذا نرى أن النسق الاستنباطى يبدأ من مقدمات مفروضة إلى نتائج لازمة عنها ويكون صدق هذه النتائج على التسليم بصدق المقدمات لذلك يوصف النسق الاستنباطى فى الرياضيات بأنه فرضى .

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

أهم خصائص القضية الرياضية

1) القضية الرياضية قضية تحليلية تعبر عن تحصيل حاصل 2) القضية الرياضية تعبر عن اللزوم المنطقى

وذلك يعنى أن المحمول فى القضية الرياضية لا يضيف إلى موضوعها جديدا من الةاقع ومن ثم فإن صدق القضية الرياضية يتوقف على عدم التناقض بين طرفيها .
مثال :
القضية ( 1 + 1 = 2 ) فعندما نقول =2 فإنه ليس هذا تناقض مع قولنا 1+1 بل أنه مجرد تحصيل حاصل .
وذلك يعنى بأنه إذا سلمنا بصدق قضية لزم التسليم بصدق القضية المترتبة عليها بغض النظر عن مدى مطابقة ذلك للواقع الخارجى أو عدم مطابقته " الاستدلال الرياضى استدلال صورى " فإذا سلمنا بصدق القضية القائلة " المكان سطح مستوى " لزم التسليم بصدق القضية المترتبة عليها والقائلة " مجموع زوايا المثلث تساوى " 180 " أى تعنى أن الشطر الثانى من القضية الرياضية يلزم لزوما منطقيا عن الشرط الأول فمثلا " = 2 " يلزم لزوما منطقيا عن الشطر الأول " 1+1" .